Astronomiepraxis 

Astronomie
mit dem Taschenrechner

Messung und Berechnung
(Monddurchmesser und seine Krater)

Von Uwe Helten

Bestimmung des Monddurchmessers

Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung
2. Berechnung des Monddurchmessers
2.1 Veruchsbeschreibung
2.2 Berechnung von D = tan a * R
3. Berechnung von Kraterdurchmessern
4. Theorie
4.1 Mittelwert
4.2 Berechnung des wahren Gesichtsfeldes eines Okulars
4.3 Der Stundenwinkela
4.3.1Wieviel Grad sind x Sekunden?
4.4 Der Tangenssatz
5. Anregungen

1.EINLEITUNG:

Liebe Sternfreunde!
In den folgenden Seiten soll Euch eine Grundlage, für eigene Berechnungen gegeben werden. Im Beispiel werden Mondkraterdurchmesser ermittelt und eine einfache Möglichkeit aufgezeigt, den Durchmesser des Mondes näherungsweise zu berechnen. Die Berechnungsmethoden beruhen nicht auf streng wissenschaftlichen Regeln. Sondern dienen nur als Faustformeln. Die Ergebnisse der beschrieben Meßmethoden sind nicht exakt, aber für den Eigengebrauch äußerst nützlich. Die Beobachtungen, Messungen und Berechnungen sind mit einfachsten Fernrohren durchführbar. Das hat den Vorteil, mit kleinen Instrumenten, ein umfangreiches Repertoire an astronomischen Beobachtungs- möglichkeiten zu entwickeln. Die Messungen laufen immer nach dem selben Schema. So stellt sich schon nach kurzer Zeit, Sicherheit und Vertrauen in die eigene Messung, ein. Zuerst wird eine Beobachtung gemacht, bei der z.B. der Monddurchlauf im Okular gestoppt wird. Oder ein Sternenfeld im Okularausschnitt gezeichnet wird. Danach erfolgt die theoretische Auswertung der Beobachtungsergebnisse; meistens am Schreibtisch. Die ermittelten Werte können nach längeren Zeiträumen wieder überprüft werden. Durch dieses Prinzip lassen sich Änderungen am Sternenhimmel einfach feststellen. Die Basis für die Berechnungen liefert die Geometrie und Trigonometrie, sowie der Dreisatz.

2. BERECHNUNG DES MONDDURCHMESSERS:

Als Beispiel ist die Berechnung des Monddurchmessers, auf Basis eigener Messungen mit dem Fernrohr, ausgewählt. Eine Kontrolle der Berechnung und dem tatsächlichen Monddurchmesser, nach Angabe der Literatur, ist hier gut möglich. Der gleiche Versuchsablauf ist für alle Himmelsobjekt anwendbar!

2.1 Versuchsbeschreibung:

Der Durchmesser des Mondes in Kilometern soll anhand eigener Beobachtungen ermittelt werden. Zur Messung wird eine Stoppuhr und ein Fernrohr benötigt! An einem klaren Abend wird das Teleskop auf den Mond gerichtet. Das Okular des Fernrohres sollte mindestens 100- Fache Vergrößerung erzeugen, damit die Auflösung des Fernrohres besser genutzt werden kann und die Messung genauer wird. Das Fernrohr wird so eingestellt, daß der Mond genau in der Mitte des Okulars erscheint.

Einstellung des Fernrohres:
Mond im Gesichtsfeld des Okulars

Infolge der Erddrehung, durchwandert der Mond das Gesichtsfeld des Okulars von OST nach WEST, in einer von der Erddrehung erzeugten Zeit. Nun wird das Teleskop in der Stundenachse soweit nach Westen gedreht, bis der Mond im Okular nicht mehr zu sehen ist. Dort wird es fixiert und der Eintritt des Mondes in das Gesichtsfeld abgewartet. In dem Moment, wo er am Ostrand auftaucht, wird die Zeit gestartet (t0). Der Mond wandert nun in OST- WEST- Richtung zur Bildfeldmitte. Die Zeit wird gestoppt, wenn der Westrand des Mondes über den östlichen Bildrand gerutscht ist (t1).

Mond am Rand des Gesichtsfelds

Tip:
Die Zeiten und Tageskoordinaten in einem angefertigtem Beobachtungsprotokoll notieren!

2.2 Berechnung:

Gesucht: Monddurchmesser:D = ? km
Der Mond hatte am Beobachtungsabend folgende Daten (Himmelsjahr):
Deklination :d = -18,3°
Abstand zur Erde :R = 383.385 km
Durchgangszeit :T` = 140" (Stoppuhr abgelesen)

Mit der Formel:
T = T` * cos dd = Deklination in Grad
  T`= Durchgangszeit in sec
  T = Durchmesser in Sekunden
(Korrigierte Durchgangszeit)

wird zu nächst die Durchgangszeit auf den Himmelsäquator (d = 0°) korrigiert:
T = 140" * cos 18,3°
T = 132,92"

Dann wird die korrigierte Zeit T = 132,92" in den Stundenwinkel a umgerechnet!
Hier gilt:
24 h = 86400" entsprechen 360°
a= 132,92" * 360° / 86400" = 0,55°
Stundenwinkel a = 0,55°

Der Mond erscheint, von der Erde aus gesehen, in diesem Winkel von 0,55°

Als Faustformel, mit dem Tangenssatz im rechtwinkligen Dreieck, läßt sich nun der Monddurchmesser annähernd berechnen:

Tan a = D/Ra = Stundenwinkel in Grad
  D = Durchmesser
  R = ~ Entfernung Erde- Mond
(ohne Erdmittelpunktsbeziehungen)
D = tan a * R
D = tan 0,55° * 383.385 km
D = 3706 km

(Monddurchmesser ld. Angaben in Büchern:3476,6 km)

Mit dieser Methode ließ sich der Monddurchmesser auf 3476,6/3706 = 94% genau ermitteln!

3. BERECHNUNG VON KRATERDURCHMESSER:

Analog zu Punkt 2 wird ein Mondkrater im Bildfeld so eingestellt, daß er im Ost- Westverlauf genau durch die Bildmitte wandert. Berührt der Kraterrand den westlichen Bildrand, wird die Zeit gestartet. Berührt der östliche Kraterrand den westlichen Bildrand, wird die Zeit gestoppt. Nach dieser Methode wurden 3 Mondkrater vermessen:

Archimedes: T´ = 3,17" (a=3,12")
Copernicus: T´ = 3,43" (a=3,53")
Eratosthenes:T´ = 2,21" (a=2,23")

Durch Berechnung (wie oben) ergeben sich folgende Durchmesser:
Archimedes: 87 km
Copernicus: 98 km
Eratosthenes:62 km

In der Literatur können folgende Durchmesser nachgelesen werden:
Archimedes: 75 km 86%
Copernicus: 97 km 99%
Eratosthenes:61 km 98%

Tip:
Höhere Meßgenauigkeiten werden durch wiederholte Messungen erreicht!

4. THEORIE:

Zur Berechnung ist es notwendig über die Genauigkeit der Meßwerte und deren Grenzbereiche Bescheid zu wissen. Die Genauigkeit hängt von der Auflösung des Fernrohres, der Größe und Entfernung der Objekte und von der Reaktionszeit beim Stoppen ab.

Beispiel:
Ein Krater von 80 km Durchmesser wird vermessen. Der Durchlauf im Okular wird mittels Stoppuhr gestoppt. Er beträgt z. B.: 3". In diesen drei Sekunden sind folgende menschlichen Unsicherheitsfaktoren enthalten. Reaktionszeit mit ca. 0,6 sec, Gleich-mäßigkeit des gewählten Start und Stoppunktes mit ca. 0,3 sec
Das ergibt eine Genauigkeit von:

r = ±(0,6+0,3)/6
r = ±15%

Der tatsächliche Wert liegt also zwischen 68-92 km Durchmesser. Für eigene Beobachtungen ist diese Abweichung aber völlig ausreichend und kann durch eine Meßreihe mit Mittelwert verringert werden.

4.1 Mittelwert:

Sehr empfehlenswert ist, die mehrfache Wiederholung einer Messung. Je mehr Messungen durchgeführt worden sind, desto geringer wird der Fehler sein. Bei fünf Messungen erhält man schon ein recht genaues Mittelmaß. Den Mittelwert erhält man, indem die Summe aller Meßwerte, durch die Anzahl der Messungen, dividiert wird.

4.2 BERECHNUNG DES WAHREN GESICHTSFELDES EINES OKULARS

Ein Stern am Himmelsäquator (Deklination null Grad), bewegt sich infolge der Erddrehung in einer Sternzeitsekunde um 15,04" (Bogensekunden) nach Westen. Wird die Zeit gestoppt, die ein Objekt für einen Durchlauf durch das Okular benötigt, kann mit Hilfe der Formel, das Gesichtsfeld des Okulars oder der Abstand zweier Punkte berechnet werden.

Mit der Formel:

øw = T` * cos d / (0,997271 * 4)  wobei:  d = Deklination in Grad
T`= Durchgangszeit in sec
øw=Gesichtsfeld in Bogenminuten.

läßt sich das wahre Gesichtsfeld eines Okulars oder die Meßstrecke in Bogensekunden ermitteln!

4.3 Der Stundenwinkel a:

Der Himmelsglobus ist in Längen und Breitengraden eingeteilt; genau wie die Erde! Die Längengrade können in Grad 0-360° oder in Stunden 0h-24h angegeben werden. Da sich die Erde in 24h (23h56m) einmal um sich selbst dreht, kann durch stoppen einer Zeit ein bestimmter Abschnitt in Grad durch Umrechnung ermittelt werden.

Der Stundenwinkel a

Dazu folgende Grundlagen:

1h = 60 min = 3600 sek
24h = 86400 sek

4.3.1 Wieviel Grad sind x Sekunden?:

Umrechnung mit dem Dreisatz:
86400 s  =  360°
1s   =  360° / 86400s
x s   =  x * 360° / 86400s

Mit dieser Formel kann also der Stundenwinkel a in Grad ausgerechnet werden!

4.4 Der Tangenssatz:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Tan alpha = GK/AK mit  GK = Gegenkathete
AK = Ankathete

Der Tangenssatz

Die Gegenkathete wird näherungsweise durch die Strecke des Objektes gebildet. Bei den astronomischen Entfernungen bildet die Ankathete zur Gegenkathete näherungsweise einen rechten Winkel! Die Ankathete ist die Strecke von der Erde zum Objekt. So läßt sich dann leicht, der Monddurchmesser oder die Kratergrößen ermitteln.

5. ANREGUNGEN:

An dieser Stelle möchte ich auf die zahlreichen Möglichkeiten aufmerksam machen, die sich durch das geschilderte Beobachtungsschema ergeben.

- Für die Praxis-.

a) Katalogisieren von schnelleren Doppelsternsystemen
Es gibt knapp 20 nördliche Systeme für kleine Fernrohre (Durchmesser 60 mm). Sie zeigen nach 5-10 Jahren Änderungen im Positionswinkel und Abstand von mehr als 10° und zwei Bogensekunden. Zeichnen, Messen und Berechnen!
b) Aufzeichnung der Jupiter oder Sarturnmondbewegungen
Während einer Beobachtungsnacht ändern sich die Positionen der Monde. Mit der Durchlaufmessung können die Bewegungsabläufe zeichnerisch und meßtechnisch dargestellt werden. Der Unterschied zum visuellen Schätzen ist gewaltig!
c) Aufzeichnung der Planetenschleifen
Planetenbewegungen können zeichnerisch und meßtechnisch erfaßt werden. Die Rätselei, ob nun Uranus im Bildfeld ist oder nicht hört auf!
d) Weitere
Auffinden von Planetoiden, Planetendurchmesser, Sonnenfleckenbewegung, Kometen und vieles mehr!
Viel Spaß!


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© Die AVG Internet-Redaktion, letzte Änderung: 29.07.2000