Einführung in die Astronomie Teil 4 - Das kleine 1x1 der Astrophysik

4.2 Die Keplerschen Gesetze

Autor: Uwe Nolte

Historisches

Um 1600 war die Planetenbewegung ein noch ungelöstes Problem. Laut Ptolemäus (ca. 160 n.Chr.) sollten sich die Planeten in Kreisbahnen um die ruhende Erde bewegen. Aber schon den Astronomen in der Antike war klar, daß sich die schon mit bloßem Auge beobachtbaren Schleifenbewegungen der Planeten (siehe Kap. 3.3 Der Lauf der Planeten) mit dieser Theorie nicht erklären lassen. Also mußten Hilfskonstruktionen her, um die Theorie zu retten: die sog. Epizykel.

Epizykeltheorie im ptolemaeus'sche
Weltbild
Geozentrische Deutung der Planetenbewegung mit Hilfe von Epizykeln

Demnach sollte ein Planet die Erde nicht direkt umkreisen, sondern auf einem Hilfskreis (Epizykel) entlanglaufen, dessen Zentrum die Erde entlang eines Hauptkreises (Deferent) umrundet. Dummerweise kam man mit einem Epizykel nicht aus, sondern mußte bis zu 40 Epizykel einführen, um die Planetenbewegung wiedergeben zu können. Dadurch wurde die Theorie recht kompliziert.

Nikolaus Kopernikus Nikolaus Kopernikus suchte nach einer einfacheren Beschreibung für die Planetenbewegung. Er kam schließlich auf die Idee, alle Planeten inklusive der Erde, um die Sonne kreisen zu lassen (vielleicht hat er auch nur von Aristach abgeschrieben).

Planetenbewegung nach Kopernikus
Heliozentrische Deutung der Planetenbewegung nach Kopernikus. Man beachte, daß auch er nicht ohne Epizykel auskam!

Nun sind aber die Planetenbahnen keine exakten Kreise, wie Kopernikus annahm. Daher mußte auch er Epizykel einführen, um sein Modell an die Beobachtungen anzupassen. Er brauchte sogar 48 Hilfskreise dafür - die Einfachheit seines Modells war also dahin.

Johannes Kepler Gegen Ende des 16. Jahrhunderts beschäftigte sich Johannes Kepler mit der Planetenbewegung. Ihm war klar, daß man zur Lösung des Problems möglichst exakte Beobachtungsdaten brauchte. Der Astronom, der die genauesten Beobachtungsdaten seiner Zeit besaß, war der verfressene Tycho Brahe. Doch leider gewährte er Kepler nur zögernd und widerwillig Einbilck in seine Beobachtunsdaten. Erst nachdem Tycho gestorben war, bekam Kepler vollen Einblick in dessen Beobachtungsdaten. Daraus formulierte Kepler seiner berühmten drei Gesetze der Planetenbewegung.


Das erste Kepler'sche Gesetz

Ellipse
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.


Das zweite Kepler'sche Gesetz

Flaechensatz
Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne-Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Die Ellipsensegmente zeigen die Flächen, die vom Radiusvektor in der gleichen Zeit überstrichen werden. Alle Segmente sind gleich groß. Daraus folgt, daß sich ein Planet in Sonnennähe (Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne (Aphel).

Das 2. Keplersche Gesetz ist auch als Flächensatz bekannt.


Das dritte Kepler'sche Gesetz

Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer mittleren Entfernung von der Sonne.

Gibt man z. B die Umlaufzeit zweier Planeten in Jahren und die Entfernung in Astronomischen Einheiten an, so gilt:

a(Planet1) ³:a(Planet2) ³ = T(Planet1) ²:T(Planet2)²mit a = mittlere Entfernung des Planeten von der Sonne in AE
T = Umlaufzeit des Planeten in Jahren
Das heißt nicht, dass das Quadrat der Umlaufzeit gleich der 3. Potenz der mittleren Entfernung eines Planeten wäre, sondern der Quotient aus beiden für mehre Planeten annähernd gleich ist.

Newton zeigte später, daß das 3. Keplersche Gesetz nur ein Spezialfall des Zweikörperproblems ist, bei dem man die Masse des einen Körpers gegenüber der Masse des anderen Körpers vernachlässigt. Die exakte Form des 3. Keplerschen Gesetzes lautet:

T^2/a^3=4pi^2/(G*(m1+m2))
mit T = Umlaufszeit des Planeten in Sekunden
a = mittlere Entfernung des Planeten in Meter
m1, m2 = Masse der Sonne bzw des Planeten in kg
G = Gravitationskonstante

Mit dem 3. Keplerschen Gesetz kann man die relativen Entfernungen der Planeten allein aus ihren Umlaufszeiten bestimmen. Bestimmt man nun den Abstand Erde-Venus während eines Veuns-Durchgangs vor der Sonne (dann stehen Sonne, Venus und Erde in einer Reihe), so kann man auch die Astronomische Einheit und damit die mittleren Entfernungen der Planeten in km bestimmen.
Z.B. hat die Venus eine Umlaufszeit von 0.61521 Jahren. Nach der einfachen Form des 3. Keplerschen Gesetzes erhält man eine mittlere Sonnenentfernung von 0.72335AE. Bei einen Venus-Durchgang ist die Venus dementsprechen 0.27665AE von der Erde entfernt. Bestimmt man nun diesen Abstand z.B. zu 41.4Mill km, so erhält man für die Astronomische Einheit: 149.65Mill km und damit 108.25Mill km für den mittleren Abstand der Venus von der Sonne.
Der Literaturwert für die Astronomische Einheit lautet: 1.49597870 x 108 km.

In vergangenen Jahrhunderten wurden für solche Venus-Durchangs-Messungen sogar Expeditionen an das andere Ende der Welt geschickt. Heute erledigt man solche Messungen mit Radar, indem man die Laufzeit eines Signals zum Planeten und zurück mißt.


Zusammenfassung:

Das haben wir soeben gelernt:

Die Keplerschen Gesetze lauten:
  1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
  2. Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
  3. Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer mittleren Entfernung von der Sonne.

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© Die AVG Internet-Redaktion, letzte Änderung: 18.06.2007